「終物語」が面白すぎたのでモンティホール問題について考えてみる

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モンティ・ホール

アニメ「終物語」が面白過ぎます。

原作未読なので全て初見なのですが、1話の冒頭がオイラーの等式な時点で既にやられました。

e^iπ + 1 = 0

ってやつです。

非常に心躍る開幕でした、元理系マン的に。

モンティホール問題

モンティ・ホール2

いつか2ちゃんで同じ問題を見たことあった気がするのですが、そのときは解答をググりもしなかった記憶があります。高校くらいまでは理系人間だった自分なので、昔はこういうもをを考えるのがとても好きでした。しかしいつの間にか考えることを辞めている模様。究極生物でもないくせに。人間って悲しい生き物です。

まあそうやって忘れた心を思い出させてくれるのが西尾維新とシャフトのすごいところ。

「ある物事の魅力を他人に伝える」というのはすごく難しいものです。このブログでもたまにそういうもの書いてますが、どうやったら興味を持ってもらえるのだろうかと常に悩んでいます。

この作家の場合は、個人的に主観ですが手法は一貫して「厨二心をくすぐる」ではないでしょうか。今回もいい具合にくすぐられた自分です。

さてこのモンティホール問題、さらに詳しいことはwikiでも読んでくれればって感じでさっと説明します。

モンティ・ホール問題 – Wikipedia

モンティホール問題とは?

これはアメリカさんの番組が元になった有名な問題。

その番組では、3つのトビラのうち1つに豪華景品が入っています。

(ハズレにはヤギが入ってる)

回答者はまずその3つのトビラから1つを選びます。

そこで正解を発表してハイ終わりなら確率は1/3で問題なく終了です。

なのですが・・・。

ここで司会者(モンティさんっていうみのもんたみたいな役割の人)がヒントを出します。

残った2つのトビラのうち、ハズレの1つを開けてくれます。

モンティ・ホール3

そしてここで回答者に再度選択を迫る。

「最初に選んだトビラをそのまま開けるか?それとも変えるか?」ということです。

単純な1/3もしくは1/2の確率で当たる選択肢が、その過程によって明らかに差が生まれるわけです。

当時は学者を交えてものすごく物議を醸したらしいです。

現代では雑魚大学卒の自分でも計算すれば明白なのですが・・・まあその辺は時代とか色々。

人類の基礎学力というのは常に向上している気がします。

モンティホール問題の正しい解答

答えもwikiに載っています、が書きます。

あくまで「変えるか?変えないか?」で言えば答えは「変える」が正解です。

いや、アニメでアララギさんも「変えるが正解」って言ってたんでそのままなんですがwww

解説のために下にいくつか例を挙げます。

これはちゃんと計算すれば「例え選択肢がいくつあろうが、いかなる場合でも同じような過程で選択を迫られたならば変えることが正解」なんだなということを納得した自分の備忘録。

3つのトビラに1つ当たりがある場合

選択肢は「当たり」「ハズレA」「ハズレB」の3つになります。

最初に「当たり」を選んだ場合、司会者は残りハズレのうちの片方を開けます。

選択肢を変えなければそのまま当たり、変えた場合は司会者がハズレABどちらを選ぼうが残ったハズレを選択することになります。

次に、最初に「ハズレA」を選んだ場合、司会者は当たりのトビラは開けられないので必ず「ハズレB」を開けます。

つまりその時点で開いていないトビラが当たり。

選択肢を変えなければ外れ、変えた場合は残りは「当たり」だけなので必ず当たるというわけです。

同様に、最初に「ハズレB」を選んだ場合も同じです。

さて、ここで「変える」or「変えない」の2択になる場合、確率はどうなるのでしょうか?

「変える」を選んだ場合、当たるのは最初に「ハズレA」もしくは「ハズレB」を選んだ場合です。

要は最初から外れる場合。

この確率は2/3=約67%です。

逆に「変えない」を選ぶ場合、当てるためには最初から「当たり」を選ぶ必要があります。

1/3の当たりを選択できた場合のみ当たります。

単純な1/3→1/2に変化しただけの問いなのですが、選択肢を変えるor変えないに絞って考えるだけで確率に2倍の差が生まれます。

変えれば67%、変えなければ33%の確率で当たります。

それまでの過程で確率が変わるという不思議な問題。

色々端折りましたが、まあちょっと数学が分かる人間なら分かるかと思います。

逆に全く分からん人には分からんかもしれませんwww

100のトビラの中から司会者が98開けてくれる場合

これが比較として一番よく挙げられているかと思います。

これが感覚的には分かりやすいらしいです。

最初にトビラを1つ選んで、その後司会者がハズレのトビラを98個開けてくれるということらしいです。

先ほどの「変える」or「変えない」クイズで言えば、要は最初に当たりを選ぶかハズレを選ぶかということです。

「変える」なら最初に当たりを選べばハズレ、ハズレを選べば当たり。

「変えない」はその逆です。

最初に当たりを選ぶ確率は1/100、つまり「変えない」で当たる確率は1%というわけです。

逆に「変える」なら99%の確率で当たるというわけ。

要するに、司会者がハズレを全部開けてくれる場合「最初にハズレを選ぶ確率=トビラを変えて当たる確率」という式が成り立つのです。

これは計算をしなくても、自分が開ける立場に立ってみればどっちが当たりそうかって感覚的に考えてもなんとなく司会者が残したトビラの方が当たりやすいんじゃないか?って思いそうですな。

というわけで視覚的に

モンティ・ホール4

この中に1つだけ当たりがあるよ!

モンティ・ホール5

トビラを1つ選んでみた。

じゃあ不詳ワタクシめ(司会者)がヒントとして君の選んだトビラ以外でハズレを98個開けてあげるよ!

そぉい!!!!

モンティ・ホール6

さて、どれが当たりでしょう?

なんかマインスイーパみたいっすなwww

マインスイーパなら間違いなくオッサンの残したトビラが当たりっす。

最初に選んだトビラは旗が立ってるから開かないだけっす。

極端過ぎる例題に物申す

しかしいくら分かりやすい例題だからと言っても、解答を知っている司会者が98/100を開けるというあまりにも大多数な答えを出してしまうのは如何なるものかと思いました。

自分のようなひねくれ者には、なんとなく逆に数字に弱い人を煙に巻くための詭弁なのではないかと思えてしかたないです。

本当に全てにおいて「変える」方が正解なの?

断言するには些か早すぎない?

というわけで、逆に極端な例の場合を計算によって調べてみる。

(完全に数字のお話なので、これまでの話が分からない人には分からないかも)

100の選択肢の中から回答者が選んだあと、司会者がハズレを1つだけ開ける場合

本当に「変える」がお得なの?

「変えない」は損なの?

というわけで考えてみましょう。

この場合2つの選択肢についてそれぞれ考えてみるわけですが。

この2つの確率を比較する場合、結果だけ見れば「当たり」or「ハズレ」の2つしかありません。

結果が色々あれば余事象を使うべきですがこの場合はそれぞれに関して事象が1つずつしかないわけです。

すなわち「変えて当たる」or「変えないで当たる」です。

ですのでそれぞれの確率を計算してみましょう。

まずは分かりやすい「変えないで当たる」です。

これはまあ普通に前回と同じく1/100、つまり1%です。

100あるトビラから正解を選んだときに最初の1回で当たる確率。

「変えた方がお得」というならば、「変えて当たる」確率が1%以上になればいいわけです。

さて計算してみましょう。

まずは「変えて当たる」事象が成立するときについて考える。

「変える」ことが前提となっています。

すなわち、最初に選ぶトビラは「ハズレ」でなければいけません。必ず変えるわけですから。

最初に「ハズレ」のトビラを選ぶ確率は99/100、つまり99%です。

そしてその後司会者が、残りのトビラから「ハズレ」をどれか1つ開けます。

その後が少し今までと違います。

今まではトビラが1つしか残っていませんでしたので、変えるならばそのまま選択肢は1つ。

けれども今回は98のトビラが残っているので、再度その中から「当たり」を選ばなくてはいけません。

残ったトビラの中に当たりが存在する場合、それを当てられる確率は1/98ということになります。

この2つが両立する場合、つまり最初にハズレを選んで次に当たりを選べる確率が、「変えて当たる」確率です。

ここからは単純に算数。

(99/100)*(1/98)がいくつになるかという話です。

さて、計算してみましょう。

(99/100)*(1/98)=0.01010204・・・

確率(百分率)で1.01・・・%

あ、やっぱし変えた方が(若干ではありますが)常にお得なんですねwww

この両極端な2つの例で両方とも変えた方が当たる確率が高いというなら、どんな状況でも変えた方がお得になるのかなということがようやく自分も感覚的に分かりました。

モンティホール問題の心理的トラップ

個人的にこの問いかけの場合、心理的側面の罠がいやらしいと思います。

「一度手に入れた当たりを手放したくない」という思いが「選択肢を変えない」を誘発するように思える。

こうやって計算して「変えた方がお得」と思っている自分でさえ、それを知っているからこそ「最初に薄い当たりを引けたのにそれを手放すのは惜しい」と思ってしまいます。

この3つの選択肢というところが特にいやらしい。

実際最初の選択で当たる確率は結構あるわけで。

手順的にはそれを捨てた方が、「当たる確率」自体は高くなるわけなのですが・・・。

同じことを100回やるなら間違いなく毎回変えるべきなのですが、たったの1回のチャレンジこの問題に挑む場合面倒です。

心理的に「後悔」が残るのはどちらかと言えば「変える」方かと思います。

アカギでも似たようなこと言ってましたっけ・・・利を捨てるのが一番難しいって・・・。

既に持っている物を手放すことは何よりも惜しいものです・・・。

なんといやらしい問題だ。

モンティホール問題と終物語についてまとめ

要するに変えた方がいつでもお得ということが分かりました。

結局そのままですねwww

しかし正直答えはどうでもいいのです。

こういうのを自分で考えることが大切かと。

けれども自分はいつの間にか考えることを忘れ、もしくは他人(数学者)に任せてしまってます。

以前はググりもしなかったわけですしwww

まあ社会的にはそれでも良いのです。

こういうのを考えるのが好きで楽しいからといって誰もが数学でメシ食ってけるわけではありません。

でも、こうやって考える楽しさを思い出させてくれる。

そんなアニメ「終物語」が個人的に楽しみですっていう話です。

今回は2話まで観た感じ、加えてヒロイン的に数学推しなんでしょうか?

数学を題材に使うというセンスが個人的に好きです。

1話でも言っていましたが、数学は神の奇跡です。

その全てが美しい、永遠のロマン。

なんか個人的にはワクワクが止まりません。

今後どうなるか分かりませんが、とりあえず今は一番楽しいです。

ついでだからオイラーの等式にも触れたいのですがこれはちょっと・・・知らない人に理解させるだけの知識と技術はちょっと無いんですよね・・・。

数IIIとか物理とか習ったくらいの人向けくらいには書けるかもしれませんが・・・難しい・・・。

囚人のジレンマ

ついでに調べてみた「囚人のジレンマ」という話も面白かったです。

「モンティホール問題」が面白いと感じた人にはオススメ。

http://mitasonet.com/diary/prisoners-dilemma/

コメント

  1. test より:

    モンティ・ホールのミソはwikiにも書かれていますし、あなたもお書きになられている「いかなる場合でも同じような過程で選択を迫られたならば」です。

    「この中に1つだけ当たりがあるよ!」
    トビラを1つ選んでみた。
    「じゃあ不詳ワタクシめ(司会者)がヒントとして君の選んだトビラ以外でハズレを98個開けてあげるよ!」
    「そぉい!!!!」
    「さて、どれが当たりでしょう?」

    上記の流れだとwikiでいう、悪魔モンティ、天使モンティもしくは心理戦であり、「変更してもしなくても変わらない」だと思います。
    モンティ・ホールの例とするには、以下の流れが正しいかと思います。

    「この中に1つだけ当たりがあるよ!」
    「選ぶ前に説明しておくけど、不詳ワタクシめ(司会者)がヒントとして君の選んだトビラ以外でハズレを98個開けてあげるよ!そのあとに選びなおして良いか聞くからね」
    プレイヤーが選ぶ
    「そぉい!!!!」
    「さて、選びなおしますか?」

    • みたーそ@管理人 より:

      >test様・・・で良いですかね?
      コメントありがとうございます。

      なるほど、確かに少し説明が足りませんでしたね。
      元のルールでそのままプレイすること前提で勝手に書きましたが、ちゃんと「ルールを先に説明するという過程を踏まないと成り立たない」というようなことでよろしいでしょうか。自分で分かっているつもりでも説明をするというのは難しいものですね。勉強になりました。

      記事自体を訂正するか、もしくは自分の間違いを残す意味も含めてコメントと共にそのままにするかは今後考えます(おそらく訂正をするとは思いますが)。
      ご指摘ありがとうございましたm(_ _)m

  2. とおりすがり より:

    モンティホール問題

    前提:ABC(Aが当たり)

    Aを選ぶ→Bがハズレ開示→Aを選ぶ(維持)→成功
    Aを選ぶ→Cがハズレ開示→Aを選ぶ(維持)→成功
    Aを選ぶ→Bがハズレ開示→Cを選ぶ(変更)→失敗
    Aを選ぶ→Cがハズレ開示→Bを選ぶ(変更)→失敗
    Bを選ぶ→Cがハズレ開示→Aを選ぶ(変更)→成功
    Bを選ぶ→Cがハズレ開示→Bを選ぶ(維持)→失敗
    Cを選ぶ→Bがハズレ開示→Aを選ぶ(変更)→成功
    Cを選ぶ→Bがハズレ開示→Cを選ぶ(維持)→失敗

    維持による成功の数=2
    維持による成功の数=2

    変更による成功の数=2
    変更による失敗の数=2

    結論→維持も変更も確率は同じ

    ちなみに、変更の勝率が2/3といわれているのは
    上記8パターンのうち変更で失敗する2回を、
    ハズレBとCの区別がつかない点を利用して
    1回に見せかける事により錯覚させてるだけ。
    変更のほうが勝率が上がるというのは真っ赤な嘘。

    • みたーそ@管理人 より:

      >とおりすがり様
      コメントありがとうございます。

      あまり自分も頭の良い方では無いので難しいことは分からないのですが、仰っているような細かく場合分けをするパターンはどちらかと言うと人の意志が介在しないランダム抽選の確率に近い感じではないでしょうか?
      この問題の本質は選択者の意志と最終選択までの手順の踏み方にあるのかと思っています。
      そこに至るまでの過程を上手く利用して、「どのトビラを開けるか?」ではなく「選んだ後に変えるか否か?」の選択を固定することがポイントなのかなと。
      ランダムな当たる確率ではなく狙って当てる手順と言えば良いのでしょうか?

      予め変えるか否かを固定するのであれば、選択者側からすれば上から12と34は同じに見えますがそれも錯覚ではありません。
      実際、ハズレのどちらを開示されようとも選択者の行動が変わらない以上12と34は同じハズレのうちどちらのトビラを開示したという場合分けの必要性がそもそも無いからです。

      などと考えてみたのですがどうでしょう。
      面白いものですね、勉強になります。
      何かございましたらドンドン書き込んで下さって構いませんが、何分そこまで頭が良い訳でもないので着いていけなくなる可能性もあります。
      その場合はご了承ください。

  3. とおりすがり2 より:

    最初の選択では3分の1で当たり、3分の2ではずれです。

    選択後、外れを1つ表示され変更した場合のみ考えると。

    前者ははずれに変更する

    後者は当たりに変更する。まとめると

    3分の1で最初に当たり変更してはずれ。

    3分の2で最初にはずれ変更して当たり。

    どう考えても変えた方がいいですよね。

    • みたーそ@管理人 より:

      >とおりすがり2様
      コメントありがとうございます。

      そうですよね、要は「後で変更する場合は最初にハズレを引く確率=最後に当たる確率」という認識で良いんですよね。
      そんなに詳しくもないので色々突っ込まれるとたまに本当に正しいのか分からなくなったりして困ります。
      丁寧な解説どうもありがとうございました。