「終物語」が面白すぎたのでオイラーの等式の魅力について補足してみる

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オイラー

書こうか書くまいか迷いました。

何故なら、数学は好きではあるけどそこまで知識もない、塾講師でもない自分には説明できるか分からなかったからですwww

そして一応書いたけれどもやはり心折れるwww

まあ自分なりにこのアララギさん曰く、いや、アララにギさんでなくとも思う「人類史上最も美しい等式」についての魅力を解説することで、少しでもアララギさんやおそらく老倉さんも思っているであろうこの等式の美しさを理解して感情移入の手助けでもなれればと思います。

数学のおかげで全てが成り立つ。

数学のおかげで彼女ができる。

って老倉さんも言ってた。

超拙い解説スタート

自然対数の底「e」

なんかすごい数。

エクセルとかクッキークリッカーで出てくる「e」とは違うやつ(あれはただの10)。

円周率「π」と一緒で、規則性が無い無限に続く小数です。

求め方としては

lim(n→∞)(1 + 1/n)^n

となります。大体2.7くらい。∞を途中で止めて100ということにしてエクセルさんで同じ計算をさせてみたところ

(1 + 1/100)^100 = 2.704814・・・

となりましたので大体2.7くらい。

この数字はどんな数字かというと、微分しても同じ値になるというもの。

d/dx e^x = e^x

ってなる数だったかと。

こんな数字一体なんの役に立つんだ?と思いがちですが、これを定義したことで微積分が便利になったらしいです。ただの2.7くらいの小数なんだけどこれは本当にすごい。

先述の式に加えて、対数の式で

d/dx ・ log(e)x = 1/x

とかなったりする超絶妙な数らしい。

元々微積とか指数対数とかって、ものすごく大きい数字を計算するときにラクにするための便利アイテムな側面もあるわけで。

まあ「0の概念」とか「円周率」なんかはどちらかと言えば日常生活で理解出来るけれども、こっちは数学好きじゃないと存在理由がちょっと分かりづらいかも。

けれども我々の見えないところできっとコンピュータ関連で役に立ってるはずです。

日常生活で使うとしたら、自然に出来る螺旋(台風とか)の円は自然対数で描けたりするらしいです。色々な物理法則の裏で見え隠れする数字らしい。

虚数i

これは難しい。

「i^2 = -1」つまり「2乗すると-1になる」と定義される不思議な数。√-1ということなんですがなんぞやって感じですね。

プラスでもマイナスでもない不思議な数。しかし「e」と同じで、これも定義することにより色々な数学の謎が解明された偉大な数。

普段使う数字はプラスからマイナスまで一応存在してはいるので「実数」と呼ばれています。そこに存在しない数ということで「虚数」という名前になったのかなって感じです。

実数を直線上に座標で表したりするかと思いますが、その直線上に存在しない数ということになります。本当に「次元の違う数」ということ。

「2回掛けると-1になる」という特性を利用して、横軸を1、縦軸をiとした平面で表したりもします。詳しくは「複素数平面」とかでググってみてください。なんとなく普段使う数字とは90度ズレた存在ということです。闇に片足突っ込んでる不思議な数、それが虚数。

高校数学で習うかもしれない。

円周率π

これはまだ小学校で習うという理由もあってか馴染みはあるかもしれない数。

直径1の円の周りをぐるりと回ると2*π丁度の長さらしいです。つまり直径0.5の円をぐるりと回るとπという長さらしい。しかしこの数字が、規則性は無いけれども無限に続く小数の長さになってしまうらしい。よく聞くのは「だいたい3.14くらい」という値。3.14159265358979323・・・。

何故かここまでは暗記しています。

多分4年生の時授業が暇だったのでしょう。

けれどもいくら覚えてもしゃーない。

だって終わりなど無いのだから・・・。

1

基準にする数。

これも実は大切。

2は1が2つ分。

eは1がe個分だしiは1のi個分、πは1のπ個分なのです。

0

多分パンピーの日常生活では当たり前ですが、これも生まれた時は衝撃だったらしいです。

多分世界史とかで習うと思うけれども「0」はインドとかその辺で生まれたらしい。0は何も無いことを表しているけれども何も生まれないわけではない。0からは+1と-1が生まれる。

実は今の宇宙も無から生まれたけれども、無を0として+1と-1が生まれたとか言われてたり言われてなかったり。そう考えると0って素敵な数。

オイラーの公式

オイラーの公式

正直こまあ公式としては「こうなるんだよ」としか言えませんwww

これは・・・なんというか数字の属性を表す式。さっき虚数のところで書いた複素数平面というやつ。一つの数字がどのくらい1でどのくらいiかということを平面上で表すとこうなります。

そしてそれを直径1の円として三角関数で表すとこうなるらしい。式の求め方は正直自分もよく分かってないからさらに知りたい人はwikiでも読んでみてください。多分大半の人は頭が痛くなってそっと閉じると思います。

なんか書いてて自分でも理解が不十分過ぎて困る。とにかくこうなる。分からなかったらもっとググってください。今はこれが精一杯。

物理を分かる人向けに適当に角度をπにしてみる

あまり覚えてないけれども三角関数はぐるっと1周で2πだった気がします。

なのでθ = πで丁度180度のところ。

つまり

e^iπ = sinπ + cosπ

= 0 + (-1)

= -1

となるらしい。

まあ分かる。

美しく書いてみる

先ほどの右辺を左辺に適当に移行すると

e^iπ = -1

e^iπ + 1 = 0

という、いわゆる「オイラーの等式」になるわけです。

オイラーの等式「e^iπ + 1 = 0」の美しさ

拙い適当な解説ですが、この式に出てくる数字「e」「i」「π」「1」「0」の全ては、人間がこの世界の理を理解するために無理矢理作った、要するに勝手に定義した数字です。

それぞれ円だったり微分だったり、結構関係の無い分野でその分野の計算を簡単にするために作ったぱっと見関係の無い数字が、実は一つの等式に綺麗に収めることが出来ましたっていうお話。

無限に続く小数「e」「π」と存在しない数「i」、それと全ての基準となる「0」と「1」を使って一つの等式になりました。

これが本当に美しいよって言うのが今回のお話。

そんでまあ同じ意味でも

e^iπ = -1

と書いてもいいんですがせっかくなので右辺を左辺に移行してみて

e^iπ + 1 = 0

と書くと全部の数字が入ってて美しいですねって感じ。

雑な説明ですがこんなもんです。

とにかく数学というのは一つの芸術っていうことなんです。昔の音楽家とか画家とかも数学好きな人が結構いた気もしますがまあそういうことです。数学って芸術です。

こういうものに心惹かれている老倉さんということです。数学は本当に美しいものです。老倉さんも美しいです。むしろ老倉さんが美しい。可愛い。

余談 今でもイマイチよく分からない

なんとなく数字で考えると意味が分かりませんが、とりあえずeという実数をi乗するとマイナスになるのが本当に謎です。

ついでに余談 素敵な考察

どこかの西尾維新考察ブログで読んだお話。予め言っておくけれどもパクリではありません。ただどこだったか忘れただけです。元ネタを発見したら引用リンク貼りたいので教えてくれると助かります。

今回の老倉さんのお話、エピローグで「結局ゼロになっただけ」って言ってます。

物語の主軸になる老倉さんは自然対数の底である「e」、そこに絡んできた謎の存在である扇ちゃんは虚数「i」っぽい。さらにそこに絡んできた羽川さんはおっぱいなので「π」っぽい。そんな老倉さんを巡っての物語にアララギさんを加えたら、1を加えたら0になったというダジャレ的要素。

深読みしすぎだろって思うかもしれませんが自分は結構好きだったりします。

コメント

  1. より:

    自分は

    e^πi = -1

    の方が好きです。
    いーのぱいあいじょうはまいなすいち。

    汚くなんかないと思います。
    1をどちらに置くかは大差ないと思います。

    • みたーそ@管理人 より:

      >な様
      コメントありがとうございます。

      そうですね、この辺は個人の価値観の違いなので汚いはちょっと言い過ぎかもしれませんでしたね。
      訂正しておきます。

      自分が綺麗だと思う理由は本文にも書いてありますが歴史的背景なども考慮してという意味があるのでその辺も価値観の違いかと。
      そう言う意味で「1をどちらに置くかは大差ない」という部分だけはやはり否定させていただきます。
      「ひとつの数式に5つの数字を収める」という点に価値を見出しているという感じです。

  2. より:

    eの説明の部分はd/dx・log(e)x=1/xでは

    • みたーそ@管理人 より:

      >あ様
      コメントならびにご指摘ありがとうございます。
      言われてみればたしかにそうでした、修正しておきました。
      どうもありがとうございました。

  3. anonymous より:

    記事の誤植 正しくはd/da ・ log(e)a = 1/a ですね
    導き方は
    f(x)=(cosx-i×sinx)e^ix とするとf'(x)=0 ∴f(x)=f(0)=1
    よって (cosx-i×sinx)e^ix=1
    (cosx+i×sinx)を両辺にかけて
    e^ix=(cosx+i×sinx)

    • みたーそ@管理人 より:

      >anonymous様
      コメントありがとうございます。

      誤植の方のご指摘ありがとうございました。
      そちらの方は修正しておきました。

      導き方の方もありがとうございます。
      自分の理解がちょっと追い付いていないのですが頑張って理解して上手いこと書いてみます。
      ありがとうございました。